Brownsche molekularbewegung wiki

  • Brownian movement in microbiology
  • Brownian motion examples
  • What is brownian movement in biology

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    Brownsche Brücke

    Eine brownsche Brücke ist ein spezieller stochastischer Prozess, der aus dem Wiener-Prozess (auch brownsche Bewegung genannt) hervorgeht. Im Gegensatz zu diesem hat sie aber einen endlichen Zeithorizont mit einem deterministischen (also nicht zufälligen) Endwert, der im Normalfall gleich dem Startwert ist. Die brownsche Brücke wird zur Modellierung von zufälligen Entwicklungen in Daten verwendet, deren Wert aber zu zwei Zeitpunkten bekannt ist.

    Definition

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    Sei ein Standard-Wiener-Prozess und ein fest gewählter Zeitpunkt. Dann heißt der Prozess

    brownsche Brücke der Länge . Für ergibt sich die Standard-brownsche-Brücke.

    Eigenschaften

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    Jeder Pfad der brownschen Brücke kehrt zum Zeitpunkt wieder zur Null zurück, es gilt . Daher auch der Name des Prozesses: Es wird eine Brücke zwischen 0 und geschlagen, wo man dann wieder „festen Boden unter den Füßen“ hat.

    Eine brownsche Brück

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    Brownian motion

    Named after Scottish botanist Robert Brown (1773–1858), who investigated the movement of pollen suspended in water.

    Brownianmotion (countable and uncountable, pluralBrownian motions)

    1. (statistical mechanics)Randommotion of particles suspended in a fluid, arising from those particles being struck by individual molecules of the fluid.
    2. (idiomatic) A state of chaos or disarray.
      • 2003, Robert Wilson, Instruments of Darkness, Harvest Books, →ISBN, page 255:
        The sun was hot on my legs. I moved out of the doorway and stood in the room with my thoughts in Brownian motion.
      • 2007 November, Gil Schwartz, “Escape from the job monster”, in Men's Health, volume 22, number 9, →ISSN, page 122:
        That's pretty much what I'm doing here today—asking you, right now, to sit down, take a deep breath, and stop. Try to see a future beyond that Brownian motion of your daily affairs.
    random motion of particles suspended in a fluid

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    Markov Processes

    The future only depends on the present state of the system and not the past
    \[ P(X_{t+1}=x | X_{t}=x_n, X_{t-1}=x_{t-1} , ... , X_{1}=x_1 ) = P(X_{t+1}=x | X_{t}=x_t ) \]

    For discrete systems a map \[X_{t+1} = F(X_t,X_{t-1},...,t,\xi_t) \] simplifies to \[ X_{t+1} = F(t_t,\xi_t) \]

    The Random Walk

    Discrete process \[X_{t+1}=X_{t}+\xi_{t}\]

    In one or more dimensions

    source:wikipedia.org

    Randomness and Uncertainty

    • Random variables in discrete or continuous time\[\xi_t \mbox{ or } \xi(t)\]
    • Independence:\[ P(\xi(t_1)=a_1 \land \xi(t_2)=a_2) = P(\xi(t_1)=a_1) \cdot P(\xi(t_2)=a_2) \]
    • Random variables and stochastic processes X(t) have a Probability Density Function (PDF) \[\rho(X) \mbox{ with } \int \rho(X) \mathrm{d}X = 1 \]
    • For an ensemble of processes, values of all realizations at one point in time are distributed according to the PDF
    • With the ensemble average, observables like the mean and variance are given as \[ \langle X(t) \rangle = \int X\rho(X) \